Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por

Transcripción

1 Operdor nbl El operdor nbl es: = xˆ x + ŷ y + ẑ z Definimos el grdiente de un cmpo esclr ϕ(x ) por: ϕ =xˆ ϕ x + ŷ ϕ y + ẑ ϕ z e A (x ) =A x (x )xˆ +A y (x )ŷ +A z (x )ẑ un cmpo vectorl. L divergenci de A se define por.a (x ) = A x x + A y y + A z z

2 rotor El rotor de A es: A xˆ ŷ ẑ = x y z A x A y A z El lplcino de un cmpo esclr ϕ(x ) es l divergenci del grdiente de ϕ(x ):. ϕ = 2 ϕ = 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2

3 Teorem de l divergenci e V un volumen encerrdo por un superficie cerrd. Tenemos que: V d 3 x.a = d.a pr todo cmpo vectoril A definido en V. L expresión del ldo derecho de est ecución se llm el flujo del cmpo vectoril A trvés de l superficie. d es el elemento de áre infinitesiml. u dirección l d l norml l superficie en cd punto que, por convención punt hci fuer del volumen V. Demostremos est identidd pr un cubo de ldo : dx dy ( Ax dz x + A y y + A z z dx ) = dza y y= y= + dy dy dza x x= x= + z= dxa z z=

4 Teorem de l divergenci Pero dy dzax x= x= = dy dzax (, y, z) dy dzax (, y, z) Podemos ver que estos son los flujos de A trvés de ls tps del cubo correspondientes x= y x =. El signo menos se debe que l norml l tp en x= es xˆ. Un volumen rbitrrio V lo podemos descomponer en N cubos de ldo dycentes tl que V = N 3. Esto es excto pr N. Vemos qué sucede si plicmos nuestro resultdo previo pr dos cubos dycentes: d 3 x.a = d 3 x.a + d 3 x.a = d.a + d.a = V 1 UV 2 V 1 V d.a Notr que el flujo de A en l cr común de los dos cubos dycentes se cncel porque ls normles se dirigen en direcciones opuests. ólo qued el flujo trvés de ls crs() que roden el volumen V 1 UV 2.

5 Teorem del Rotor(tokes) e un superficie biert, cuyo borde es un curv cerrd C. Entonces: d. ( A ) = C d x.a pr todo cmpo vectoril A definido en. El miembro derecho de l iguldd es l circulción de A lo lrgo de l curv C. C se recorre siguiendo l regl de l mno derech: Figur 1. Con l mno derech tomo l norml nˆ l superficie en cd punto, con mi dedo pulgr en l dirección de nˆ. L curvtur de los demás dedos d l orientción de C.

6 Teorem del Rotor Demostremos est identidd pr un cubo de ldo, l cul le flt l tp en x =. dy dz ( A ) x x=+ dx dz ( A ) y y= y=+ dy dx ( A ) z z= z= Estudiemos cd tp por seprdo, dx dz ( A ) y y= = dx dz( A z (,, z)+a z (,, z))+ ( dz A z(x,, z) x + A x(x,, z) z ) dx(a x (x,, ) A x (x,, )) = L últim expresión d l circulción de A lo lrgo del perímetro del cudrdo y =, recorriendo el perímetro tl que el cubo qued l derech. Aplicmos este resultdo cd tp del cubo. Notmos que tods ls tps tienen un ldo común con otr tp, excepto l tp en x =. L circulción de A en los ldos comunes se cncel de pres debido ls orientciones opuests que tiene los recorridos en ls dos tps. ólo sobrevive l circulción de A lo lrgo del cudrdo que limit l tp x =. Un rgumento similr l utilizdo pr probr el Teorem de Guss, permite generlizr nuestro resultdo pr el cubo un superficie biert rbitrri.

7 Ejemplos Consideremos el cmpo eléctrico debido un crg q en el origen. Encontrr: 1. El flujo del cmpo eléctrico trvés de un esfer centrd en el origen de rdio R. Tenemos que: E =kq rˆ, nˆ = rˆ, E.nˆd = kq kq d = 4πR 2 = 4πkq r 2 R 2 R 2 2. L divergenci del cmpo eléctrico:.e ( ( ( )) x y z = kq ( x )+ r 3 y )+ r 3 z ( ) r 3 x x r 3 = 1 r 3 +x 3 r 4 xr x r = x ( ) x x r r 3 = 1 r 3 3x2 r 5.E = 3 r 3 + y 2 + z 2 3x2 r 5 = r =/ L divergenci del cmpo eléctrico está concentrd en el origen.definmos l función delt de Dirc: δ(x )= si x =/ y d 3 xδ(x )=1, l integrl cubre todo el espcio. Entonces:.E = 4πkqδ(x )

8 Ejemplos Encontrr 1. rote, pr el cmpo eléctrico debido un crg puntul q 1 situd en x 1.R: E = 2. L circulción de E lo lrgo de l curv definid por dos segmentos de rdios y los rcos correspondientes. L crg q está situd en el centro de l esfer. r 1 r 2 En los rcos l integrl de líne se nul, ddo que el cmpo es perpendiculr l tngente l rco. E.d x =. e tiene: C E.d x = r 1 r 2 drk q r 2 r 1 r 2 drk q r 2 =. Por superposición, el cmpo electrostático debido un número rbitrrio de crgs puntules stisfce que E =. Debido l teorem del rotor C E.d x =, pr culquier curv cerrd C. Esto signific que el cmpo electrostático es conservtivo y que es posible definir el potencil electrostático, como veremos posteriormente.

9 Teorems de Green en ϕ, ψ dos cmpos esclres definidos en un volumen V cuyo borde es l superficie cerrd. Entonces ( d 3 x[ψ 2 ϕ ϕ 2 ψ] = d ψ ϕ ) n ϕ ψ n V donde l derivd norml se define como ψ n = nˆ. ψ. Demostrción: Usr el teorem de l divergenci con A = ψ ϕ ϕ ψ Igulmente: V d 3 x[ϕ 2 ϕ + ( ϕ) 2 ] = ( d ϕ ϕ ) n Demostrción: Usr el teorem de l divergenci con A = ϕ ϕ

10 Ecución de Lplce Queremos estudir ls condiciones de borde que grnticen l unicidd de l solución l ecución de Lplce: 2 φ =, φ(x ) existe en x ǫv. Ls condiciones de borde se dn sobre l superficie cerrd que encierr el volumen V. en φ 1, φ 2 dos soluciones l ecución de Lplce en V que stisfcen ls misms condiciones de borde sobre. e tiene que ψ = φ 1 φ 2 stisfce l ecución de Lplce en V. Usndo l fórmul de Green: d 3 x[ψ 2 ψ + ( ψ) 2 ] = V V d 3 x[( ψ) 2 ] = ( d ψ ψ ) n 1) Condiciones de borde de Dirichlet:φ(x) = φ (x),xǫ. Entonces ψ(x)=,xǫ. ( ψ) 2 =, xǫv ψ(x)=c, xǫv Pero ψ = en. c= Por lo tnto si se d l función φ(x) sobre l superficie cerrd, existe un únic solución l ecución de Lplce en V.

11 Neumnn 2) Condiciones de borde de Neumnn. L derivd norml de l función φ se conoce sobre l superficie. Entonces ψ = en. n Por lo tnto: ( ψ) 2 =, xǫv ψ(x)=c, xǫv Por lo tnto si se d l derivd norml de l función φ(x) sobre l superficie cerrd, existe un únic solución l ecución de Lplce en V, slvo por un constnte ditiv rbitrri.